12624. На продолжении стороны AC
треугольника ABC
за точку A
отмечена такая точка T
, что \angle BAC=2\angle BTC
. Найдите площадь треугольника ABC
, если известно, что AB=AC
, BT=70
, AT=37
.
Ответ. 420.
Решение. Пусть \angle BTA=\alpha
, тогда по условию \angle BAC=2\alpha
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle ABT=\angle BAC-\angle BTC=2\alpha-\alpha=\alpha=\angle BTA,
значит, треугольник BAT
равнобедренный, поэтому
AC=AB=AT=37.
Медиана BA
треугольника ABT
равна половине его стороны CT
. Значит, \angle CBT=90^{\circ}
(см. задачу 1188). По теореме Пифагора
BC=\sqrt{CT^{2}-BT^{2}}=\sqrt{74^{2}-70^{2}}=\sqrt{(74-70)(74+70)}=\sqrt{4\cdot144}=24.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}S_{\triangle CBT}=\frac{1}{2}BC\cdot BT=\frac{1}{4}\cdot24\cdot70=420.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2018, 9 класс, задача 5, билет 7