12625. В треугольнике ABC
сторона AC
равна 6, а угол ACB
равен 120^{\circ}
. Окружность \Omega
радиуса \sqrt{3}
касается сторон BC
и AC
треугольника ABC
в точках K
и L
соответственно и пересекает сторону AB
в точках M
и N
(M
лежит между A
и N
), причём MK
параллелен AC
. Найдите длины отрезков CL
, MK
, AB
и площадь треугольника ANL
.
Ответ. CL=1
, MK=3
, AB=2\sqrt{13}
, S_{\triangle ALN}=\frac{125\sqrt{3}}{52}
.
Решение. Пусть O
— центр окружности. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому
\angle OCL=\frac{1}{2}\angle KCL=60^{\circ}.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому треугольник COL
прямоугольный, и
CL=OL\ctg60^{\circ}=\sqrt{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=1.
Углы при вершинах K
и L
четырёхугольника OLCK
равны 90^{\circ}
, поэтому \angle LOK=60^{\circ}
.
Из параллельности MK
и AC
получаем, что OL\perp MK
. Высота равнобедренного треугольника KOM
является биссектрисой, значит,
\angle MOK=2\angle LOK=2\cdot60^{\circ}=120^{\circ}.
Тогда
MK=\sqrt{3}OM=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3,
а так как \angle MOL=60^{\circ}
, то равнобедренный треугольник MOL
— равносторонний. Значит, ML=\sqrt{3}
, а
\angle ALM=\angle ALO-\angle MLO=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}.
По теореме косинусов
AM=\sqrt{AL^{2}+LM^{2}-2\cdot AL\cdot LM\cos30^{\circ}}=\sqrt{5^{2}+(\sqrt{3})^{2}-2\cdot5\cdot\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{13}.
По теореме о касательной и секущей AL^{2}=AM\cdot AN
, откуда AN=\frac{25}{\sqrt{13}}
. Следовательно (см. задачу 3000),
S_{\triangle ALN}=\frac{AN}{AM}\cdot\frac{1}{2}AL\cdot LM\sin30^{\circ}=\frac{\frac{25}{\sqrt{13}}}{\sqrt{13}}\cdot\frac{1}{2}\cdot5\cdot\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{125\sqrt{3}}{52}.
Треугольники BKM
и BCA
подобны с коэффициентом \frac{KM}{CA}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
, поэтому
AB=2AM=2\sqrt{13}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2018, 10 класс, задача 7, билет 5