12628. В остроугольном треугольнике ABC
на стороне AC
выбрана точка Q
, для которой AQ:QC=1:2
. Из точки Q
опущены перпендикуляры QM
и QK
на стороны AB
и BC
соответственно. При этом BM:MA=4:1
, BK=KC
. Найдите отношение MK:AC
.
Ответ. 2:\sqrt{10}
.
Решение. Положим MA=x
, BK=CK=y
. Пусть AA_{1}
и CC_{1}
— высоты треугольника ABC
. Тогда AA_{1}\parallel QK
и CC_{1}\parallel QM
. По теореме Фалеса
\frac{AM}{MC_{1}}=\frac{AQ}{QC}=\frac{1}{2},~\frac{CK}{KA_{1}}=\frac{CQ}{QA}=2,
откуда
MC_{1}=2AM=2x,~AC_{1}=3x,~BC_{1}=5x-3x=2x,
KA_{1}=\frac{1}{2}CK=\frac{y}{2},~CA_{1}=\frac{3}{2}y,~BA_{1}=2y-\frac{3}{2}y=\frac{y}{2}.
Поскольку BC_{1}=MC_{1}
и BA_{1}=A_{1}K
, отрезок A_{1}C_{1}
— средняя линия треугольника KBM
. Значит, MK=2A_{1}C_{1}
.
Обозначим \angle ABC=\beta
. Тогда (см. задачу 19) A_{1}C_{1}=AC\cos\beta
. Из прямоугольных треугольников AA_{1}B
и CC_{1}B
получаем
\cos\beta=\frac{\frac{y}{2}}{5x}=\frac{1}{10}\cdot\frac{y}{x},~\cos\beta=\frac{BC_{1}}{BC}=\frac{2x}{2y}=\frac{x}{y}.
Из равенства \frac{1}{10}\cdot\frac{y}{x}=\frac{x}{y}
находим, что
\cos\beta=\frac{x}{y}=\frac{1}{\sqrt{10}}.
Тогда
MK=2A_{1}C_{1}=2AC\cos\beta=2AC\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{2AC}{\sqrt{10}}.
Следовательно, \frac{MK}{AC}=\frac{2}{\sqrt{10}}
.
Примечание. Пусть BB_{1}
— третья высота треугольника ABC
. Из теоремы Чевы следует, что точка B_{1}
совпадает с Q
, т. е. BQ
— высота треугольника ABC
(в приведённом решении это не понадобилось).