12651. Пусть l
— биссектриса внешнего угла при вершине C
треугольника ABC
со сторонами AC=7
и BC=4
. Прямая, проведённая через середину O
стороны AB
параллельно прямой l
, пересекает прямую AC
в точке E
. Найдите CE
.
Ответ. \frac{11}{2}
.
Решение. Пусть F
— точка пересечения прямых l
и AB
. Поскольку AC\gt BC
, точка E
лежит на отрезке AC
, а точка F
— на луче AB
. По свойству биссектрисы внешнего угла треугольника (см. задачу 1645)
\frac{BF}{FA}=\frac{CB}{CA}=\frac{4}{7}.
Положим BF=4t
, FA=7t
. Тогда
AB=7t-4t=3t,~OA=BO=\frac{3}{2}t,~FO=FB+BO=4t+\frac{3}{2}t=\frac{11}{2}t.
По теореме о пропорциональных отрезках \frac{CE}{AC}=\frac{FO}{FA}
. Следовательно,
CE=\frac{AC\cdot FO}{OA}=\frac{7\cdot\frac{11}{2}t}{7t}=\frac{11}{2}.
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 1995, задача 16