12657. Квадрат стороны AC
треугольника ABC
равен среднему арифметическому квадратов сторон BC
и AB
. Докажите, что \ctg^{2}\angle B\geqslant\ctg\angle A\cdot\ctg\angle C
.
Решение. Первый способ. Обозначим BC=a
, CA=b
, AB=c
, \angle A=\alpha
, \angle B=\beta
, \angle C=\gamma
. Тогда по условию 2b^{2}=a^{2}+c^{2}
. Пусть R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
.
По теоремам косинусов и синусов
\ctg\beta=\frac{\cos\beta}{\sin\beta}=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\cdot\frac{2R}{b}=\frac{(a^{2}+c^{2}-b^{2})R}{abc},
\ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{(b^{2}+c^{2}-a^{2})R}{abc},~\ctg\gamma=\frac{\cos\gamma}{\sin\gamma}=\frac{(a^{2}+b^{2}-c^{2})R}{abc}.
Теперь осталось доказать, что
\left(\frac{(a^{2}+c^{2}-b^{2})R}{abc}\right)^{2}\geqslant\frac{(b^{2}+c^{2}-a^{2})R}{abc}\cdot\frac{(a^{2}+b^{2}-c^{2})R}{abc},
или
(a^{2}+c^{2}-b^{2})^{2}\geqslant(b^{2}+c^{2}-a^{2})(a^{2}+b^{2}-c^{2}).
Действительно, среднее геометрическое двух неотрицательных чисел не больше их среднего арифметического (см. задачу 3399), поэтому
(b^{2}+c^{2}-a^{2})(a^{2}+b^{2}-c^{2})\leqslant\left(\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}+a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2}\right)^{2}=
=b^{4}=(2b^{2}-b^{2})^{2}=(a^{2}+c^{2}-b^{2})^{2}.
Отсюда следует доказываемое неравенство.
Второй способ. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, \angle A=\alpha
, \angle B=\beta
, \angle C=\gamma
. По условию a^{2}+c^{2}=2b^{2}
, а нужно доказать, что \ctg^{2}\beta\geqslant\ctg\alpha\ctg\gamma
, или \cos^{2}\beta\geqslant\sin^{2}\beta\ctg\alpha\ctg\gamma
.
По теореме косинусов
\cos\beta=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}=\frac{2b^{2}-b^{2}}{2ac}=\frac{b^{2}}{2ac}.
Пусть BH=h
— высота треугольника ABC
, S
— площадь, а AH=b_{1}
и CH=b_{2}
. Тогда
S=\frac{1}{2}ac\sin\beta~\Rightarrow~\sin\beta=\frac{2S}{ac}=\frac{bh}{ac},
а так как
\ctg\alpha\ctg\gamma=\frac{b_{1}}{h}\cdot\frac{b_{2}}{h}=\frac{b_{1}b_{2}}{h^{2}}.
то
\cos^{2}\beta\geqslant\sin^{2}\beta\ctg\alpha\ctg\gamma~\Leftrightarrow~\left(\frac{b^{2}}{2ac}\right)^{2}\geqslant\left(\frac{bh}{ac}\right)^{2}\cdot\frac{b_{1}b_{2}}{h^{2}}~\Leftrightarrow~b^{2}\geqslant4b_{1}b_{2}.
Последнее неравенство верно, так как
b^{2}-4b_{1}b_{2}=(b_{1}+b_{2})^{2}-4b_{1}b_{2}=(b_{1}-b_{2})^{2}\geqslant0.
Отсюда следует утверждение задачи.
Заметим, что неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда b_{1}=b_{2}
. В этом случае a=c
, а так как
b^{2}=\frac{a^{2}+c^{2}}{2}=\frac{2a^{2}}{2}=a^{2},
то b=a=c
, т. е. треугольник ABC
равносторонний.