12658. В остроугольном треугольнике ABC
биссектрисы углов A
, B
и C
вторично пересекают описанную окружность в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно. Пусть M
— точка пересечения AB
и B_{1}C_{1}
, а N
— точка пересечения BC
и A_{1}B_{1}
. Докажите, что прямая MN
проходит через центр вписанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
(точка пересечения биссектрис треугольника), а отрезок B_{1}C_{1}
пересекает AC
и AI
в точках P
и Q
соответственно.
Точка B_{1}
— середина дуги AB_{1}C
(см. задачу 430), поэтому луч C_{1}B_{1}
— биссектриса угла AC_{1}C
. Треугольник AC_{1}I
равнобедренный с основанием AI
(см. задачу 788), значит, биссектриса C_{1}B_{1}
его угла при вершине лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AI
. Значит, PQ\perp AI
, т. е. биссектриса AQ
треугольника APM
является его высотой, поэтому треугольник APM
(как и треугольник AMI
) равнобедренный. Тогда
\angle APM=\angle AMP=\angle IMP,
поэтому IM\parallel AC
.
Аналогично докажем, что IN\parallel AC
. Значит, точки M
, I
и N
лежат на одной прямой. Отсюда следует утверждение задачи.