12669. В неравнобедренный прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине A
вписан квадрат AEDF
, причём точки D
, E
и F
лежат на сторонах BC
, AC
и AB
соответственно. Докажите, что прямые BC
, FE
и касательная к описанной окружности треугольника ABC
пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть прямые BC
и FE
пересекаются в точке P
. Достаточно доказать, что прямая PA
касается описанной окружности треугольника ABC
.
Поскольку прямая EF
— ось симметрии квадрата AEDF
, луч PF
— биссектриса угла ABP
, \angle APE=\angle BPF
. Кроме того
\angle AEP=135^{\circ}=\angle BFP,
значит, по сумме углов треугольника
\angle CAP=\angle EAP=\angle FBP=\angle ABC.
Тогда (см. задачу 144), PA
— касательная к описанной окружности треугольника ABC
. Отсюда следует утверждение задачи.