12671. Стороны треугольника ABC
удовлетворяют равенству
\frac{BC}{AB-BC}=\frac{AB+BC}{AC}.
Найдите отношение \angle A:\angle C
.
Ответ. 1:2
.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
. Из условия \frac{a}{c-a}=\frac{c+a}b
следует, что
c^{2}=a^{2}+ab,~\mbox{или}~\frac{c}{a+b}=\frac{a}{c}.
Пусть D
— такая точка на стороне AB
, что BD=\frac{ca}{a+b}
. Тогда
\frac{BD}{BC}=\frac{\frac{ca}{a+b}}{a}=\frac{c}{a+b}=\frac{a}{c}=\frac{BC}{AB},
поэтому треугольники BCD
и BAC
подобны по двум сторонам и углу между ними. Значит, \angle BCD=\angle BAC
, а также \frac{AC}{BC}=\frac{AD}{BD}
, из чего следует, что CD
— биссектриса треугольника ABC
(см. задачу 1510). Следовательно, искомое отношение равно 1:2
.