12679. Дан параллелограмм ABCD
. Окружность с диаметром AC
пересекает прямую BD
в точках P
и Q
. Прямая проходящая через вершину C
перпендикулярно диагонали AC
, пересекает прямые AB
и AD
в точках X
и Y
соответственно. Докажите, что точки P
, Q
, X
и Y
лежат на одной окружности.
Решение. Если прямые BD
и XY
параллельны, утверждение очевидно.
Пусть прямые BD
и XY
пересекаются в точке M
. Треугольник MBC
подобен треугольнику MDY
, а треугольник MBX
— треугольнику MPC
, так как BC\parallel DY
и BX\parallel DC
. Значит,
\frac{MB}{MD}=\frac{MC}{MY},~\frac{MB}{MD}=\frac{MX}{MC},
поэтому \frac{MC}{MY}=\frac{MX}{MC}
, откуда MY\cdot MX=MC^{2}
.
С другой стороны, поскольку прямая XY
— касательная к окружности с диаметром AC
(см. задачу 1735), то по теореме о касательной и секущей MC^{2}=MP\cdot MQ
.
Из равенства MY\cdot MX=MP\cdot MQ
следует, что P
, Q
, X
и Y
лежат на одной окружности (см. задачу 114).