12683. Диагонали AC
и BD
квадрата ABCD
пересекаются в точке S
. Окружность k
проходит через точки A
и C
, а окружность k'
— через B
и D
. Эти окружности пересекаются в различных точках P
и Q
. Докажите, что прямая PQ
проходит через точку S
.
Указание. Прямая PQ
— радикальная ось окружностей k
и k'
(см. задачу 6392).
Решение. Прямая PQ
— радикальная ось окружностей k
и k'
(см. задачу 6392), поэтому достаточно доказать, что степени точки S
относительно этих окружностей равны, т. е. что AS\cdot CS=BS\cdot DS
. Это равенство очевидно, так как AS=CS=BS=DS
как половины диагоналей квадрата.