12684. Точка H
— ортоцентр остроугольного треугольника ABC
, CD
— высота треугольника. Известно, что центр описанной окружности треугольника лежит на прямой, содержащей биссектрису угла DHB
. Найдите все возможные значения угла BAC
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Пусть l
— прямая содержащая биссектрису угла DHB
, а E
— точка пересечения луча CD
с описанной окружностью треугольника ABC
. Угол симметричен относительно своей биссектрисы, поэтому лучи HD
и HB
симметричны относительно прямой l
, а так как окружность симметрична относительно своего диаметра, то точки B
и E
симметричны относительно прямой l
. Значит, HE=HB
.
С другой стороны, точки E
и H
симметричны относительно прямой AB
(см. задачу 4785), поэтому BE=BH=HE
, т. е. треугольник BEH
равносторонний. Следовательно,
\angle BAC=\angle BEC=\angle BEH=60^{\circ}.