12689. Угол при вершине A
треугольника ABC
равен 60^{\circ}
. Точка T
расположена внутри треугольника, причём \angle ATB=\angle BTC=\angle CTA=120^{\circ}
. Точка M
— середина стороны BC
. Докажите, что TA+TB+TC=2AM
.
Решение. Первый способ. Пусть C'
, лежащая вне треугольника ABC
, — образ точки C
при повороте на угол 60^{\circ}
вокруг точки A
(рис. 1), точка T'
— образ точки T
при этом повороте. Тогда треугольник ATT'
равносторонний, поэтому \angle AT'C'=120^{\circ}
, точки B
, T
, T'
и C'
лежат на одной прямой, и
TB+TA+TC=BT+TT'+T'C'=BC'.
На продолжении медианы AM
за точку M
отложим отрезок MD=AM
. Тогда ABDC
— параллелограмм, поэтому
AD=2AM,~BD=AC=AC',
\angle ABD=180^{\circ}-\angle BAC=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}=\angle BAC'.
Треугольники BAD
и ABC'
равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно,
TB+TA+TC=BC'=AD=2AM.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Достроим треугольник ABC
до параллелограмма ABDC
. Поскольку
\angle BDC+\angle BTC=60^{\circ}+120^{\circ}=180^{\circ},
точка T
лежит на описанной окружности треугольника BCD
. Пусть X
— отличная от T
точка пересечения прямой AT
с этой окружностью, а Y
— середина DX
. Треугольник BCX
равносторонний, так как
\angle BXC=\angle BDC=60^{\circ},~\angle CBX=\angle CTX=60^{\circ}.
Значит,
TB+TC=TX
(см. задачу 17). Осталось доказать, что AX=AD
.
Действительно, пусть K
— точка пересечения медиан треугольника BCX
(т. е. центр описанной окружности равностороннего треугольника BCD
). Поскольку XM
— общая медиана треугольников BCX
и ADX
, точка K
— также точка пересечения медиан треугольника ADX
. Значит, точка K
лежит на медиане AY
этого треугольника, а так как треугольник KDX
равнобедренный, то KY\perp DX
. Значит, медиана AY
треугольника ADX
является его высотой. Следовательно,
TA+TB+TC=AX=AD=2AM.
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 2012, задача 11