12692. Центр O
описанной окружности четырёхугольника ABCD
лежит внутри четырёхугольника, но не диагонали AC
. Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке I
. Описанная окружность треугольника AOI
пересекает стороны AD
и AB
в точках P
и Q
соответственно. Описанная окружность треугольника COI
пересекает стороны CB
и CD
в точках R
и S
соответственно. Докажите, что PQRS
— параллелограмм.
Решение. Предположим, что угол ABC
тупой (в противном случае поменяем местами B
и D
). Точки A
, I
, O
и P
лежат на одной окружности, поэтому \angle QAI=\angle QOI
. Аналогично, \angle RCI=\angle ROI
. Значит,
\angle QOR=\angle QOI+\angle ROI=\angle QAI+\angle RCI=
=\angle BAC+\angle BCA=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-\angle QBR,
поэтому точки Q
, O
, R
и B
лежат на одной окружности.
Кроме того, поскольку четырёхугольники APOI
и CSOI
вписанные,
\angle PAI=180^{\circ}-\angle POI,~\angle SCI=180^{\circ}-\angle SOI,
поэтому
\angle POS=360^{\circ}-\angle POI-\angle SOI=\angle PAI+\angle SCI=
=\angle DAC+\angle DCA=180^{\circ}-\angle ADC=180^{\circ}-\angle PDS.
Значит, точки P
, O
, S
и D
тоже лежат на одной окружности.
Точка O
— центр описанной окружности четырёхугольника ABCD
, поэтому AO=OB
и \angle QAO=\angle OBQ
. Угол QAO
— вписанный угол описанной окружности треугольника APQ
, а OBQ
— вписанный угол описанной окружности треугольника BQR
. Углы QAO
и OBQ
опираются на одну и ту же хорду OQ
, значит, эти две окружности равны (см. теорему синусов, задача 23). Аналогично, равны описанные окружности треугольников BQR
, CRS
и DSP
.
Поскольку
\angle QAP=\angle BAD=180^{\circ}-\angle BCD=180^{\circ}-\angle RCS,
а радиусы описанных окружностей четырёхугольников AQOP
и ORCS
равны, то хорды QP
и RS
равны. Аналогично, равны хорды QR
и PS
. Следовательно, PQRS
— параллелограмм.
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 2012, задача 15