12696. На плоскости расположены четыре концентрические окружности. Их радиусы образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Докажите, что не существует квадрата, вершины которого лежали бы на этих четырёх окружностях.
Решение. Пусть O
— общий центр данных окружностей. Предположим, что ABCD
— квадрат, вершины которого лежат на четырёх разных окружностях. Пусть вершина A
лежит на наибольшей из них.
Если радиус наименьшей окружности равен a
, а разность прогрессии равна d
, то радиусы четырёх окружностей равны a
, a+d
, a+2d
, a+3d
. Это также расстояния от точки O
до вершин квадрата ABCD
, а OA=a+3d
.
Рассмотрим выражение
OA^{2}+OC^{2}-OB^{2}-OD^{2}.
Оно достигает своего наименьшего значения, если OC=a
. Значит,
OA^{2}+OC^{2}-OB^{2}-OD^{2}\geqslant(a+3d)^{2}+a^{2}-(a+d)^{2}-(a+2d)^{2}=
=a^{2}+6ad+9d^{2}+a^{2}-a^{2}-2ad-d^{2}-a^{2}-4ad-4d^{2}=4d^{2}\gt0.
Но это противоречит известному свойству прямоугольника: суммы квадратов расстояний от произвольной точки плоскости до противоположных вершин прямоугольника одинаковы (см. задачу 2169), т. е. в нашем случае
OA^{2}+OC^{2}-OB^{2}-OD^{2}=0.
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 2013, задача 16