12698. Точка M
— середина стороны AB
треугольника ABC
, а точка T
— середина не содержащей точки A
дуги BC
описанной окружности треугольника ABC
. Точка K
внутри треугольника ABC
такова, что MATK
— равнобокая трапеция с основаниями AT
и MK
. Докажите, что AK=KC
.
Решение. Пусть луч TK
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке S
. Тогда
\angle ABS=\angle ATS=\angle ATK=\angle MAT=\angle BAT,
поэтому ASBT
— равнобокая трапеция (или прямоугольник) с диагоналями AB
и ST
. Тогда MK\parallel AT\parallel SB
, а так как M
— середина AB
, то K
— середина TS
(см. задачу 1939).
Кроме того,
\angle TAC=\angle BAT=\angle ATS,
поэтому ST\parallel AC
, а ACTS
— тоже равнобокая трапеция (или прямоугольник). Точка K
— середина её основания SK
, поэтому треугольники ASK
и CTK
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AK=KC
. Что и требовалось доказать.
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 2014, задача 12