12706. CD
и BE
— биссектрисы треугольника ABC
. Точки F
и G
отмечены на продолжениях сторон AB
и AC
за точки B
и C
соответственно, причём BF=CG=BC
. Докажите, что FG\parallel DE
.
Решение. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{AD}{AB}=\frac{AC}{AC+BC},~\frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AB+BC},
поэтому
\frac{AD}{AF}=\frac{AD}{AB}\cdot\frac{AB}{AF}=\frac{AC}{AC+BC}\cdot\frac{AB}{AB+BF}=
=\frac{AC}{AC+BC}\cdot\frac{AB}{AB+BC}=\frac{AC\cdot AB}{(AC+BC)(AB+BC)},
\frac{AE}{AG}=\frac{AE}{AC}\cdot\frac{AC}{AG}=\frac{AB\cdot AC}{(AB+AC)(AC+BC)},
откуда
\frac{AD}{AF}=\frac{AE}{AG}.
Следовательно, AE\parallel FG
. Что и требовалось доказать.