12709. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
с непараллельными сторонами AB
и CD
. Точка M
— середина стороны CD
, а P
— точка внутри четырёхугольника ABCD
, для которой PA=PB=CM
. Докажите, что прямые AB
, CD
и серединный перпендикуляр к отрезку MP
пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть \omega
— описанная окружность четырёхугольника ABCD
, а \omega_{1}
и \omega_{2}
— окружности с центрами соответственно P
и M
, имеющие равные радиусы PB=MC=r
.
Степень точки X
относительно окружностей \omega
и \omega_{2}
равна
XD\cdot XC=(XM+r)(XM-r)=XM^{2}-r^{2}
(см. задачу 2636). Аналогично, степень точки X
относительно окружностей \omega
и \omega_{1}
равна
XA\cdot XB=XP^{2}-r^{2}.
Поскольку XA\cdot XB=XD\cdot XC
, то XP^{2}=XM^{2}
, или XP=XM
. Значит, точка X
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку MP
. Отсюда следует утверждение задачи.