12712. Четырёхугольник ABCD
описан около окружности \omega
. Пусть E
— ближайшая к A
точка пересечения окружности \omega
с диагональю AC
, а F
— точка окружности \omega
, диаметрально противоположная точке E
. Касательная к окружности \omega
в точке F
пересекает прямые AB
и BC
в точках A_{1}
и C_{1}
, а прямые AD
и CD
— в точках A_{2}
и C_{2}
соответственно. Докажите, что A_{1}C_{1}=A_{2}C_{2}
.
Решение. При гомотетии с центром A
, переводящей окружность \omega
, вписанную в треугольник AA_{1}A_{2}
, во вневписанную окружность \omega_{1}
, прямая l
, касающаяся окружности \omega
в точке E
, переходит в параллельную ей касательную к окружности \omega_{1}
, т. е. в прямую A_{1}A_{2}
, а прямая AE
— в себя. Тогда точка E
при этом переходит в точку X
— точку касания прямой AA_{1}
с окружностью \omega_{1}
. Значит, A_{1}X=A_{2}F
(см. задачу 4805).
При гомотетии с центром C
, переводящей вневписанную окружность \omega
треугольника CC_{1}C_{2}
в его вписанную окружность \omega_{2}
, прямая l
переходит в A_{1}A_{2}
, а прямая CE
— в себя. Точка E
при этом переходит в точку X
пересечения прямых A_{1}A_{2}
и AE
, т. е. в точку X
. Таким образом, X
— точка касания вписанной окружности треугольника CC{1}C_{2}
со стороной C_{1}C_{2}
, а так как F
— точка касания вневписанной окружности \omega
этого треугольника со стороной C_{1}C_{2}
, то C_{1}X=C_{2}F
.
Следовательно, A_{1}C_{1}=A_{2}C_{2}
. Что и требовалось доказать.