12727. Биссектриса угла ABC
треугольника ABC
пересекает сторону AC
и описанную окружность \Omega
треугольника ABC
в точках D
и L
соответственно. Точка M
— середина стороны AC
. Описанная окружность \omega
треугольника BDM
пересекает стороны AB
и BC
второй раз в точках P
и Q
соответственно. Точка N
— середина отрезка PQ
, H
— проекция точки L
на прямую ND
. Докажите, что прямая ML
касается описанной окружности треугольника HMN
.
Решение. Пусть W
— середина дуги ABC
окружности \Omega
. Поскольку L
— середина дуги, дополнительной к дуге ABC
, отрезок WL
— диаметр \Omega
. Кроме того, прямая WL
— серединный перпендикуляр к хорде BC
, а также проходит через точку M
.
Поскольку
\angle DBW=\angle LBW=\angle DMW,
точка W
лежит на окружности \omega
, причём DW
— диаметр \omega
, а так как DP=DQ
(как хорды окружности, на которые опираются равные вписанные углы PBD
и QBD
) и NP=NQ
, то прямая DN
— серединный перпендикуляр к хорде PQ
этой, окружности, а значит, проходит через точку W
, причём W
— середина не содержащей точки D
дуги PQ
окружности \omega
.
Пусть прямая DW
пересекает окружность \Omega
в точке H'
. Тогда \angle LH'W=90^{\circ}
, значит, точка H'
совпадает с H
. Четырёхугольник MDHL
вписан в окружность с диаметром DL
, так как
\angle LHD=\angle LHW=90^{\circ}=\angle LMD.
Из задачи 12726 следует, что MN\parallel BL
, поэтому
\angle DHM=\angle DLM=\angle BLM=\angle NMW.
Следовательно (см. задачу 144), прямая ML
— касательная к описанной окружности треугольника HMN
.
Примечание. См. также статью А.Полянского «Воробьями по пушкам!», Квант, 2012, N2, с.49-50.