12730. Пусть \Omega
— описанная окружность треугольника ABC
(AB\ne AC
), I
— центр вписанной окружности, P
— точка на \Omega
, для которой \angle API=90^{\circ}
, S
— точка пересечения прямых AP
и BC
, W
— точка пересечения луча AI
с окружностью \Omega
. Прямая, проходящая через точку W
перпендикулярно AW
, пересекает прямые AP
и BC
в точках D
и E
соответственно. Докажите, что SD=IE
.
Указание. См. задачу 12729.
Решение. Поскольку SI\perp AW
(см. задачу 12729) и DE\perp AW
, прямые SI
и DE
параллельны. Следовательно, достаточно доказать, что \angle SDE=\angle IED
, т. е., что DEIS
— равнобокая трапеция.
Пусть Q
— отличная от W
точка пересечения прямой DE
с окружностью \Omega
. Треугольник BWC
равнобедренный, WB=WC
(см. задачу 788), поэтому
\angle BQW=\angle BCW=\angle CBW.
Значит, треугольники BWQ
и EWB
подобны по двум углам (угол при вершине W
— общий). Тогда \frac{BW}{EW}=\frac{WQ}{WB}
, а так как BW=WI
(см. задачу 788), то \frac{WI}{EW}=\frac{WQ}{WI}
. Значит, прямоугольные треугольники QWI
и IWE
подобны. Следовательно,
\angle IED=\angle IEW=\angle QIW=\angle AIP=\angle ADW=\angle SDE.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Киевский матфестиваль. — XX, задача 10.5
Источник: Галахова Е. И. Девочка на шаре: Рукопись. — задача 1.8, с. 16