12731. Точка H
— ортоцентр треугольника ABC
, M
— середина стороны AC
. Точка X
лежит на описанной окружности треугольника, причём \angle BXH=90^{\circ}
. Прямые BX
и AC
пересекаются в точке F
. Докажите, что H
— ортоцентр треугольника BFM
.
Указание. См. задачу 6300.
Решение. Пусть BD
— высота треугольника ABC
. Тогда BH
— высота треугольника BFM
, поэтому достаточно доказать, что MH\perp BF
.
Точка H'
, симметричная H
относительно точки M
, лежит на описанной окружности \Omega
треугольника ABC
, причём BH'
— диаметр этой окружности (см. задачу 6300). Тогда, если X'
— точка пересечения луча H'H
с окружностью \Omega
, то \angle BX'H=90^{\circ}
. Значит, точка X'
, как и точка X
, лежит на окружности \omega
с диаметром BH
. Таким образом, X'
— отличная от B
точка пересечения окружностей \Omega
и \omega
, а значит, X'
совпадает с X
. Точки M
, H
и X
лежат на одной прямой, поэтому MH\perp BF
. Отсюда следует утверждение задачи.