12745. Дан треугольник ABC
, I
— центр его вписанной окружности. Докажите, что окружность, проходящая через точку A
и касающаяся прямой BI
в точке I
, и окружность, проходящая через B
и касающаяся прямой AI
в точке I
, пересекаются на описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Пусть окружность, проходящая через точку A
и касающаяся BI
в точке I
, и окружность, проходящая через точку B
и касающаяся AI
в точке I
, пересекаются вторично в точке E
. На продолжении отрезка AI
за точку I
отметим точку F
. Из теоремы об угле между касательной и хордой (см. задачу 87) и из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что
\angle BEI=\angle BIF=\angle BAI+\angle ABI=\frac{1}{2}\angle BAC+\frac{1}{2}\angle ABC.
Аналогично,
\angle AEI=\frac{1}{2}\angle BAC+\frac{1}{2}\angle ABC.
Следовательно,
\angle AEB=\angle AEI+\angle BEI=\angle BAC+\angle ABC=180^{\circ}-\angle ACB.
Это означает, что четырёхугольник ACBE
вписанный. Следовательно, точка E
лежит на описанной окружности треугольника ABC
, поэтому указанные в условии окружности пересекаются на описанной окружности треугольника ABC
. Что и требовалось доказать.
Автор: Емельянов Л. А.
Источник: Кавказская математическая олимпиада. — 2019, IV, задача 2, сеньоры