12747. Докажите, что если стороны a
, b
и c
треугольника удовлетворяют условию a^{2}+b^{2}=kc^{2}
, то k\gt\frac{1}{2}
.
Решение. Пусть медиана треугольника, проведённая к стороне c
, равна m_{c}
. Тогда (см. задачу 4014)
4m_{c}^{2}=2a^{2}+2b^{2}-c^{2}~\Rightarrow~a^{2}+b^{2}=2m_{c}^{2}+\frac{c^{2}}{2},
а так как по условию a^{2}+b^{2}=kc^{2}
, то
2m_{c}^{2}+\frac{c^{2}}{2}=kc^{2}~\Rightarrow~k=\frac{1}{2}+\frac{2m_{c}^{2}}{c^{2}}\gt\frac{1}{2}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1976, № 1, задача 74, с. 10