12751. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
, в котором \angle BCD=90^{\circ}
. Точка E
— середина AB
. Докажите, что 2EC\leqslant AD+BD
.
Решение. Первый способ. Отметим середину M
диагонали BD
. По неравенству треугольника,
EC\lt CM+ME.
Отрезок CM
— медиана прямоугольного треугольника BDC
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому CM=\frac{1}{2}BD
(см. задачу 1109). Отрезок ME
— средняя линия треугольника ABD
, поэтому EM=\frac{1}{2}AD
. Следовательно,
EC\leqslant EM+CM=\frac{1}{2}AD+\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}(AD+BD).
Отсюда следует утверждение задачи.
Второй способ. Пусть B'
— точка, симметричная точке B
относительно C
. Тогда EC
— средняя линия треугольника ABB'
, поэтому EC=\frac{1}{2}AB'
. С другой стороны,
AB'\leqslant AD+DB',
а так как высота DC
треугольника BDB'
является медианой, то DB'=DB
. Значит,
EC=\frac{1}{2}AB'\leqslant\frac{1}{2}(AD+DB')=\frac{1}{2}(AD+DB).
Отсюда следует утверждение задачи.