12760. Точки M
и N
— середины сторон AB
и AC
треугольника ABC
. Касательная l
к описанной окружности треугольника ABC
в точке A
пересекает прямую BC
в точке K
. Докажите, что описанная окружность треугольника MKN
касается прямой l
.
Решение. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle BAK=\angle ACK
. Значит, треугольники BAK
и ACK
подобны по двум углам. Поскольку KM
и KN
— соответствующие медианы в этих подобных треугольниках, \angle AKM=\angle CKN
, а так как по теореме о средней линии треугольника MN\parallel KC
, то \angle CKN=\angle MNK
.
Таким образом, \angle AKM=\angle MNK
. Следовательно (см. задачу 144), описанная окружность треугольника MKN
касается прямой AK
, т. е. прямой l
. Что и требовалось доказать.
Автор: Бродский Д. В.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2022, LXXXV, 10 класс, задача 2