12773. В трапеции ABCD
с основаниями AB=a
и CD=b
диагонали пересекаются в точке O
. Найдите отношение площадей треугольника ABO
и трапеции.
Ответ. \left(\frac{a}{a+b}\right)^{2}
.
Решение. Пусть площадь трапеции ABCD
равна S
. Треугольник AOB
подобен треугольнику COD
с коэффициентом \frac{AB}{CD}=\frac{a}{b}
, поэтому \frac{AO}{AC}=\frac{a}{a+b}
. Значит (см. задачу 3000),
S_{\triangle AOB}=\frac{AO}{AC}\cdot S_{\triangle ABC}=\frac{a}{a+b}\cdot S_{\triangle ABC}.
Кроме того,
S_{\triangle ABC}=\frac{AB}{AB+CD}\cdot S=\frac{a}{a+b}\cdot S.
Значит,
S_{\triangle AOB}=\frac{a}{a+b}\cdot S_{\triangle ABC}=\frac{a}{a+b}\cdot\frac{a}{a+b}\cdot S=\left(\frac{a}{a+b}\right)^{2}S.
Следовательно, \frac{S_{\triangle AOB}}{S}=\left(\frac{a}{a+b}\right)^{2}
.