12776. Внутри треугольника ABC
взяли точку P
. Прямые BP
и CP
пересекают стороны треугольника в точках E
и F
соответственно. Найдите площадь четырёхугольника AFPE
, если S_{\triangle BPF}=4
, S_{\triangle BPC}=8
, S_{\triangle CPE}=13
.
Ответ. 17.
Решение. Из равенства S_{\triangle EPF}\cdot S_{\triangle BPC}=S_{\triangle CPE}\cdot S_{\triangle BPF}
(см. задачу 4191) находим, что
S_{\triangle EPF}=\frac{S_{\triangle CPE}\cdot S_{\triangle BPF}}{S_{\triangle BPC}}=\frac{13\cdot4}{8}=\frac{13}{2}.
Отрезок EF
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому S_{\triangle EAF}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}
(см. задачу 3021), поэтому
S_{\triangle EAF}=\frac{1}{3}S_{BCEF}=\frac{1}{3}\left(4+8+13+\frac{13}{2}\right)=\frac{21}{2},~
Следовательно,
S_{AFPE}=S_{\triangle EAF}+S_{\triangle EPF}=\frac{21}{2}+\frac{13}{2}=17.