12779. Окружность \Gamma'
внешним образом касается окружности \Gamma
, вписанной в треугольник ABC
, и сторон AB
и AC
. Докажите, что отношение радиусов окружностей \Gamma'
и \Gamma
равно \tg^{2}\frac{\pi-\alpha}{4}
, где \alpha=\angle BAC
.
Решение. Пусть O'
и O
— центры окружностей \Gamma'
и \Gamma
соответственно, r'
и r
— радиусы, D
и E
точки касания со стороной AB
, K
— точка касания окружностей, M
— точка пересечения общей касательной в точке K
со стороной AB
, D
— точка касания окружности \Gamma
со стороной AB
.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе (см. задачу 1724), поэтому \angle O_{2}AD=\frac{\alpha}{2}
, а \angle O_{1}MO_{2}=\frac{\pi}{2}
как угол между биссектрисами смежных углов. Точка M
равноудалена от сторон угла KO_{2}D
, поэтому O_{2}M
— биссектриса угла AO_{2}D
. Значит,
\angle O_{1}O_{2}M=\frac{1}{2}\angle AO_{2}D=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\pi-\alpha}{4}.
Отрезок MK
— высота прямоугольного треугольника O_{1}MO_{2}
, проведённая из вершины прямого угла, следовательно (см. задачу 1946),
\frac{r'}{r}=\frac{KO_{1}}{KO_{2}}=\left(\frac{MO_{1}}{MO_{2}}\right)^{2}=\tg^{2}\angle O_{1}O_{2}M=\tg^{2}\frac{\pi-\alpha}{4}.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 1995, задача 4