12784. Точка O
— центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC
, AD
— биссектриса треугольника. Продолжение перпендикуляра, опущенного из точки D
на прямую AO
, пересекает прямую AC
в точке P
, принадлежащей отрезку AC
. Докажите, что AB=AP
.
Решение. Пусть AA_{1}
— диаметр описанной окружности треугольника ABC
, Q
— точка пересечения прямых DP
и AA_{1}
, а луч AD
пересекает окружность в точке W
. Тогда W
— середина дуги BWC
, а \angle AWA_{1}=90^{\circ}
. У прямоугольных треугольников AWA_{1}
и AQD
общий острый угол при вершине A
, поэтому
\angle ADP=\angle ADQ=\angle AA_{1}W=\angle ACW.
С другой стороны (см. задачу 26), угол ADB
равен полусумме меньших дуг CW
и AB
, поэтому
\angle ADB=\frac{1}{2}(\smile CW+\smile AB)=\frac{1}{2}(\smile BW+\smile AB)=\frac{1}{2}\smile ABW=\angle ACW.
Значит, \angle ADB=\angle ADP
, поэтому треугольники ADB
и ADP
равны по общей стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, AB=AP
. Что и требовалось доказать.
Источник: Итальянские математические олимпиады. — 1995, задача 4
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2000, № 2, задача 4, с. 79