12788. В четырёхугольник ABCD
вписана окружность. Известно, что \angle A=\angle B=120^{\circ}
, \angle D=90^{\circ}
, BC=1
. Найдите сторону AD
.
Ответ. \frac{\sqrt{3}-1}{2}
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, r
— её радиус, F
и H
— точки касания со сторонами AD
и CD
соответственно. Продолжим стороны AD
и BC
до пересечения в точке E
.
Центр окружности вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому \angle ABO=60^{\circ}=\angle EAB
. Значит, BO\parallel ED
. В то же время, ED\parallel OH
, так как \angle EDO=90^{\circ}=\angle OHC
, поэтому точка O
лежит на отрезке BO
.
В прямоугольном треугольнике BHC
угол при вершине C
равен 30^{\circ}
, поэтому
BH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2},~CH=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Отрезок CO
— биссектриса этого треугольника, поэтому (см. задачу 1509)
\frac{OH}{OB}=\frac{CH}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2},
r=OH=BH\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+{2}}=\frac{\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{2}.
В прямоугольном треугольнике AFO
угол при вершине A
равен половине угла BAD
, т. е. 60^{\circ}
, поэтому
AF=OF\ctg60^{\circ}=\frac{r}{\sqrt{3}}.
Следовательно,
AD=DF+AF=r+\frac{r}{\sqrt{3}}=\frac{r(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}}=
=\frac{\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{2}\cdot\frac{(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}.