1279. Дана трапеция ABCD
с основанием AD
. Биссектрисы внешних углов при вершинах A
и B
пересекаются в точке P
, а при вершинах C
и D
— в точке Q
. Докажите, что длина отрезка PQ
равна полупериметру трапеции.
Указание. Треугольники APB
и DQC
— прямоугольные; прямая PQ
проходит через середины боковых сторон данной трапеции.
Решение. Первый способ. Биссектрисы внешних углов A
и B
трапеции ABCD
пересекаются под прямым углом. Поэтому треугольник APB
— прямоугольный.
Если M
— середина AB
, то PM=\frac{1}{2}AB
(см. задачу 1109). Кроме того, поскольку треугольник AMP
равнобедренный, то
\angle APM=\angle PAM=\angle KAP,
где K
— точка на продолжении основания AD
за вершину A
. Следовательно, PM\parallel AD
. Аналогично докажем, что медиана QN
прямоугольного треугольника DQC
параллельна AD
и QN=\frac{1}{2}CD
.
Поскольку MN
— средняя линия трапеции ABCD
, то MN\parallel AD
. Поэтому точки P
, M
, N
и Q
лежат на одной прямой. Следовательно,
PQ=PM+MN+NQ=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}(AD+BC)+\frac{1}{2}CD=
=\frac{1}{2}(AB+AD+BC+CD).
Второй способ. Продолжим отрезки BP
и CQ
до пересечения с прямой AD
в точках R
и S
соответственно. В силу равенства \angle ABR=\angle TBR=\angle ARB
(T
— точка на продолжении отрезка CB
за точку B
) треугольник BAR
равнобедренный. Значит, его высота AP
является медианой, т. е. P
— середина BR
. Аналогично Q
— середина CS
, т. е. PQ
— средняя линия трапеции RBCS
. Следовательно,
PQ=\frac{1}{2}(BC+RS)=\frac{1}{2}(BC+RA+AD+DS)=\frac{1}{2}(BC+AB+AD+CD).