12793. Выпуклый n
-угольник разрезан на квадраты и правильные треугольники. Докажите, что n\leqslant12
.
Указание. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360^{\circ}
(см. задачу 1304).
Решение. Предположим, что n\gt12
. Тогда, так как сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360^{\circ}
, то найдётся его внешний угол, градусная мера которого меньше, чем 30^{\circ}
(по принципу Дирихле). Рассмотрим вершину этого угла. В ней сходятся только квадраты и правильные треугольники, углы которых равны 90^{\circ}
и 60^{\circ}
соответственно. Следовательно, градусная мера внешнего угла, должна быть кратна 30^{\circ}
(поскольку 180, 90 и 60 делятся на 30). Значит, она не может быть меньше, чем 30^{\circ}
. Противоречие. Следовательно, n\leqslant12
. Что и требовалось доказать.