12804. Угол B
ромба ABCD
равен 40^{\circ}
, точка E
— середина стороны BC
, точка F
— основание перпендикуляра, опущенного вершины A
прямую DE
. Найдите угол DFC
.
Ответ. 110^{\circ}
.
Решение. Продлим DE
до пересечения с прямой AB
в точке L
. Тогда треугольники DCE
и LBE
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому CD=BL
. Значит, AB=BL=BC
, т. е. медиана CB
треугольника ACL
равна половине стороны AL
. Значит, \angle ACL=90^{\circ}
(см. задачу 1188).
Поскольку \angle AFL=90^{\circ}
, точки A
, F
, C
и L
лежат на окружности с диаметром AL
. Следовательно,
\angle CFL=\angle CAL=\frac{1}{2}(180^{\circ}-40^{\circ})=70^{\circ}.
Следовательно, \angle DFC=110^{\circ}
.
Источник: Московская математическая регата. — 2019-2020, четвёртый тур, № 2, 8 класс