12807. В угол с вершиной M
вписана окружность, которая касается его сторон в точках A
и B
. Отрезок AC
— диаметр окружности. Прямая, проходящая через точку B
параллельно MA
, пересекает AC
в точке D
. В каком отношении прямая CM
делит отрезок BD
?
Ответ. 1:1
.
Решение. Пусть прямые CB
и AM
пересекаются в точке X
. Точка B
лежит на окружности с диаметром AC
, поэтому \angle ABC=90^{\circ}
.
Первый способ. В прямоугольном треугольнике ABX
точка M
, лежащая на гипотенузе AX
равноудалена от вершин A
и B
, значит, M
— середина его гипотенузы AX
. Тогда в трапеции XADB
точка M
— середина основания AX
, а C
— середина основания BD
. Следовательно, прямая CM
проходит через середину основания BD
(см. задачу 1513).
Второй способ. Пусть \angle AMB=2\alpha
. Поскольку MA=MB
и CA\perp AM
, то
\angle MAB=90^{\circ}-\alpha,~\angle CAB=\angle XAC-\angle XAB=\alpha.
На продолжении отрезка MB
за точку B
отметим точку Y
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle MBX=\angle CBY=\angle CAB=\alpha.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle MXB=\angle AMB-\angle MBX=2\alpha-\alpha=\alpha=\angle MBX.
Значит, треугольник MXB
равнобедренный. Тогда MX=MB=MA
, т. е. M
— середина AX
. Следовательно, (см. предыдущий способ), прямая CM
проходит через середину отрезка BD
.
Источник: Московская математическая регата. — 2018-2019, второй тур, № 2, 10 класс