12818. Существует ли такой остроугольный треугольник ABC
, что окружность с диаметром AB
проходит через середину отрезка CH
(H
— точка пересечения высот треугольника ABC
)?
Ответ. Не существует.
Решение. Предположим, что такой треугольник существует. Пусть AK
и BT
— его высоты (поскольку треугольник ABC
не прямоугольный, точки K
и T
различны), M
— середина CH
. Тогда окружность с диаметром AB
проходит через точки K
, M
и T
.
Первый способ. Заметим, что через точки K
, M
и T
проходит также окружность девяти точек треугольника ABC
(см. задачу 174). Три различные точки определяют не более одной окружности. Совпадать эти окружности не могут, так как окружность девяти точек не проходит через вершины треугольника. Противоречие.
Второй способ. Пусть CR
— третья высота треугольника ABC
. Обозначим \angle AHR=\beta
. Отрезок KM
— медиана прямоугольного треугольника HKC
, то KM=MH=MC
, значит,
\angle MKH=\angle MHK=\angle AHR=\beta.
Значит,
\angle MKB+\angle MAB=(90^{\circ}+\beta)+(90^{\circ}-\beta+\angle MAK)=180^{\circ}+\angle MAK\gt180^{\circ}.
Это противоречит тому, что AMKB
— вписанный четырёхугольник.
Примечание. Отметим, что не существует и тупоугольного треугольника, удовлетворяющего условию. Для доказательства достаточно рассмотреть на том же чертеже тупоугольный треугольник AHB
, в котором C
— ортоцентр. Кроме того, рассуждения, приведённые во втором способе решения, показывают, что точка M
лежит вне окружности с диаметром AB
.
Рассматривать прямоугольный треугольник не имеет смысла, так как в нём ортоцентр совпадает с вершиной.
Источник: Московская математическая регата. — 2017-2018, пятый тур, № 2, 10 класс