12839. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность, AC=a
, BD=b
, AB\perp CD
. Найдите радиус окружности.
Ответ. \frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}
.
Решение. Пусть R
— радиус окружности.
Первый способ. Обозначим \angle BAD=\alpha
, а прямые AB
и CD
пересекаются в точке N
. Тогда
\angle ADC=\angle ADN=90^{\circ}-\angle DAN=180^{\circ}-\angle BAD=90^{\circ}-\alpha.
По теореме синусов
BD=2R\sin\angle BAD=2R\sin\alpha,
AC=2R\sin ADC=2R\sin(90^{\circ}-\alpha)=2R\cos\alpha.
Значит,
a^{2}+b^{2}=AC^{2}+BD^{2}=4R^{2}\cos^{2}\alpha+4R^{2}\sin^{2}\alpha=4R^{2}.
Следовательно, R=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}
.
Второй способ. Проведём диаметр DD_{1}
. Тогда \angle DCD_{1}=90^{\circ}
. Прямые AB
и CD_{1}
параллельны, так как они перпендикулярны одной и то же прямой CD
. Тогда, ABCD_{1}
— вписанная, а значит, равнобедренная, трапеция, поэтому
BD_{1}=AC=a,
а так как \angle DBD_{1}=90^{\circ}
, то по теореме Пифагора
4R^{2}=DD_{1}^{2}=BD_{1}^{2}+BD^{2}=a^{2}+b^{2}.
Следовательно, R=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}
.
Примечание. Ответ не изменится, если концы хорд AB
и CD
расположены на окружности в другом порядке, образуя четырёхугольник ACBD
с перпендикулярными диагоналями (см. задачу 2768).