12845. Докажите, что ортогональная проекция биссектрисы CD
треугольника ABC
со сторонами BC=a
, AC=b
и AB=c
на сторону CB
равна \frac{2p(p-c)}{a+b}
, где p
— полупериметр треугольника.
Решение. Пусть \angle ACB=\gamma
, CD'
— искомая ортогональная проекция. Тогда, поскольку
CD=\frac{2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}
(см. задачу 4021), то
CD'=CD\cos\frac{\gamma}{2}=\frac{2ab\cos^{2}\frac{\gamma}{2}}{a+b}=\frac{2ab\cdot\frac{1}{2}(1+\cos\gamma)}{a+b}=
=\frac{ab}{a+b}\cdot\left(1+\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\right)=\frac{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2(a+b)}=
=\frac{(a+b)^{2}-c^{2}}{2(a+b)}=\frac{(a+b+c)(a+b-c)}{2(a+b)}=\frac{2p(p-c)}{a+b}.
Что и требовалось доказать.