12846. Через точку P
, лежащую на окружности, проведены хорды PA
, PB
и PC
. На каждой из них как на диаметре построены окружности. Докажите, что отличные от P
точки их попарного пересечения лежат на одной прямой. (Теорема Сальмона.)
Указание. См. задачу 83.
Решение. Пусть X
, Y
и Z
— отличные от P
точки попарного пересечения указанных окружностей. Например, X
— отличная от P
точка пересечения окружностей с диаметрами PA
и PB
. Тогда
\angle AXP=\angle BXP=90^{\circ},
поэтому точка X
лежит на прямой AB
, причём PX\perp AB
, т. е. X
— основание перпендикуляра, опущенного из точки P
на прямую AB
. Аналогично, точки Y
и Z
— основания перпендикуляров, опущенных из P
на прямые BC
и AC
. Таким образом, X
, Y
и Z
— основания перпендикуляров, опущенных из точки P
, лежащей на описанной окружности треугольника ABC
, на прямые, содержащие стороны вписанного в эту окружность треугольника ABC
. Следовательно, эти точки лежат на прямой Симсона этого треугольника и точки P
(см. задачу 83).