12847. Точка P
лежит на меньшей дуге CD
окружности, описанной около квадрата ABCD
. Докажите, что
PA(PA+PC)=PB(PB+PD).
Указание. Примените теорему Птолемея к четырёхугольникам PABC
и PDAB
(см. задачу 130).
Решение. Обозначим через a
сторону квадрата. Тогда AC=BD=a\sqrt{2}
. По теореме Птолемея для четырёхугольников PABC
и PDAB
(см. задачу 130) получаем
AB\cdot PC+BC\cdot PA=PB\cdot AC,
AD\cdot PB+AB\cdot PD=PA\cdot BD,
или
a\cdot PC+a\cdot PA=PB\cdot a\sqrt{2},~a\cdot PB+a\cdot PD=PA\cdot a\sqrt{2},
PC+PA=PB\sqrt{2},~PB+PD=PA\sqrt{2},
(PC+PA)^{2}=2PB^{2},~(PB+PD)^{2}=2PA^{2},
PC^{2}+PA^{2}+2PC\cdot PA=2PB^{2},~PB^{2}+PD^{2}+2PB\cdot PD=2PA^{2}.
Вычитая из первого равенства второе и учитывая, что
PC^{2}+PA^{2}=AC^{2}=BD^{2}=PB^{2}+PD^{2},
после деления на 2 получим
PC\cdot PA-PB\cdot PD=PB^{2}-PA^{2},
или
PA^{2}+PA\cdot PC=PB^{2}+PB\cdot PD~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~PA(PA+PC)=PB(PB+PD).
Что и требовалось доказать.