12854. Пусть r_{a}
и r_{b}
— радиусы вписанных окружностей треугольника ABC
, касающихся сторон BC
и AC
соответственно, R
— радиус описанной окружности треугольника, а угол при вершине C
равен \gamma
. Докажите, что r_{a}+r_{b}=4rR\cos^{2}\frac{\gamma}{2}
.
Решение. Пусть вневписанные окружности с центрами I_{a}
и I_{b}
касаются прямой AC
в точках X
и Y
соответственно, а Z
— проекция точки I_{a}
на прямую I_{b}Y
. Тогда
I_{b}Z=I_{b}Y+I_{a}X=r_{b}+r_{a}.
Поскольку луч CI_{b}
— биссектриса угла BCY
, то
\angle I_{b}CY=\frac{1}{2}\angle BCY=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ACB)=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2},
поэтому
\angle I_{a}I_{b}Z=\angle CI_{b}Y=90^{\circ}-\angle I_{b}CY=90^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}\right)=\frac{\gamma}{2}.
При этом I_{a}I_{b}=4R\cos\frac{\gamma}{2}
(см. задачу 12851). Следовательно, из прямоугольного треугольника I_{a}ZI_{b}
находим, что
r_{a}+r_{b}=I_{b}Z=I_{a}I_{b}\cos\angle I_{a}I_{b}Z=4R\cos\frac{\gamma}{2}\cdot\cos\frac{\gamma}{2}=4R\cos^{2}\frac{\gamma}{2}.
Что и требовалось доказать.