12851. Точки I_{b}
и I_{c}
— центры вневписанных окружностей треугольника ABC
, касающихся сторон AC
и AB
соответственно, R
— радиус описанной окружности треугольника. Докажите, что I_{b}I_{c}=4R\cos\frac{1}{2}\angle A
.
Указание. Треугольник ABC
— ортотреугольник треугольника с вершинами в центрах вневписанных окружностей треугольника ABC
(см. задачу 4769).
Решение. Пусть I_{a}
— центр вневписанной окружности треугольника ABC
, касающейся стороны BC
. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда точки A
, B
и C
лежат на сторонах соответственно I_{b}I_{c}
, I_{a}I_{c}
и I_{a}I_{b}
треугольника ABC
(так как, например, BI_{a}
и BI_{c}
— биссектрисы вертикальных углов). Треугольник I_{a}I_{b}I_{c}
остроугольный, так как, например,
\angle I_{a}=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\lt90^{\circ}
(см. задачу 4770). Кроме того, ABC
— ортотреугольник треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
(см. задачу 4769), поэтому (см. задачи 19 и 23)
I_{b}I_{c}=\frac{BC}{\cos\angle I_{b}I_{a}I_{c}}=\frac{2R\sin\alpha}{\cos\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{2R\sin\alpha}{\sin\frac{\alpha}{2}}=4R\cos\frac{\alpha}{2}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 5.12, с. 47