12857. На сторонах треугольника во внешнюю сторону построены квадраты. Докажите, что три прямые, каждая из которых проходит через вершину треугольника и середину противоположной стороны квадрата, построенного на противоположной стороне треугольника, пересекаются в одной точке.
Указание. См. задачу 6739.
Решение. Пусть A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— указанные в условии середины сторон квадратов, построенных на сторонах соответственно BC
, AC
и AB
треугольника ABC
. Обозначим через \varphi
углы при основаниях равнобедренных треугольников AB_{1}C
, CA_{1}B
и BC_{1}A
(\varphi=\arctg2
). Пусть
\angle BAC=\alpha,~\angle ABC=\beta,~\angle ACB=\gamma,
\angle BAA_{1}=\alpha_{1},~\angle A_{1}AC=\alpha_{2},
\angle ACC_{1}=\gamma_{1},~\angle C_{1}CB=\gamma_{2},
\angle CBB_{1}=\beta_{1},~\angle B_{1}BA=\beta_{2}.
По теореме синусов из треугольников AA_{1}B
и AA_{1}C
получаем
\frac{AA_{1}}{\sin(\varphi+\beta)}=\frac{BA_{1}}{\sin\alpha_{1}},~\frac{AA_{1}}{\sin(\varphi+\gamma)}=\frac{CA_{1}}{\sin\alpha_{2}},
откуда
\frac{\sin\alpha_{1}}{\sin\alpha_{2}}=\frac{\sin(\varphi+\beta)}{\sin(\varphi+\gamma)}.
Аналогично,
\frac{\sin\beta_{1}}{\sin\beta_{2}}=\frac{\sin(\varphi+\gamma)}{\sin(\varphi+\alpha)},~\frac{\sin\gamma_{1}}{\sin\gamma_{2}}=\frac{\sin(\varphi+\alpha)}{\sin(\varphi+\beta)}.
Тогда
\frac{\sin\alpha_{1}}{\sin\alpha_{2}}\cdot\frac{\sin\beta_{1}}{\sin\beta_{2}}\cdot\frac{\sin\gamma_{1}}{\sin\gamma_{2}}=\frac{\sin(\varphi+\beta)}{\sin(\varphi+\gamma)}\cdot\frac{\sin(\varphi+\gamma)}{\sin(\varphi+\alpha)}\cdot\frac{\sin(\varphi+\alpha)}{\sin(\varphi+\beta)}=1.
Следовательно, по теореме Чевы (её тригонометрическая форма, см. задачу 1900) прямые AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.