12866. Радиус описанной окружности треугольника со сторонами a
, b
и c
равен R
. Докажите, что
\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geqslant\frac{1}{R^{2}}.
Решение. Среднее гармоническое трёх положительных чисел не больше их среднего арифметического. Значит,
\frac{3}{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}}=\frac{1}{\frac{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}}{3}}\leqslant\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3},
откуда
\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geqslant\frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}.
Кроме того,
a^{2}+b^{2}+c^{2}\leqslant9R^{2}
(см. задачу 3968). Следовательно,
\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geqslant\frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geqslant\frac{9}{9R^{2}}=\frac{1}{R^{2}}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 13.33, с. 106