3968. Пусть r
и R
— радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами a
, b
и c
. Докажите, что
36r^{2}\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}\leqslant9R^{2}.
Указание. 1. Если O
— центр описанной около треугольника со сторонами a
, b
и c
, M
— точка пересечения медиан Тогда
OM^{2}=R^{2}-\frac{1}{9}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).
(см. задачу 3967).
2. См. задачу 3227.
Решение. 1. Пусть O
— центр описанной около треугольника со сторонами a
, b
и c
, M
— точка пересечения медиан. Тогда (см. задачу 3967)
OM^{2}=R^{2}-\frac{1}{9}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).
Следовательно,
a^{2}+b^{2}+c^{2}=9R^{2}-OM^{2}\leqslant9R^{2}.
Что и требовалось доказать.
Заметим, что равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.
2. Пусть S
— площадь треугольника. Тогда S\geqslant3r^{2}\sqrt{3}
(см. задачу 3227(а)). Кроме того a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant4S\sqrt{3}
(см. задачу 3227(б)). Следовательно,
a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant4S\sqrt{3}\geqslant4\sqrt{3}\cdot3r^{2}\sqrt{3}=36r^{2}.
Что и требовалось доказать.