3967. Пусть R
— радиус окружности с центром O
, описанной около треугольника со сторонами a
, b
и c
, M
— точка пересечения медиан. Докажите, что
OM^{2}=R^{2}-\frac{1}{9}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).
Указание. Если M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, а O
— произвольная точка, то
\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})
(см. задачу 4505).
Решение. Рассмотрим треугольник ABC
со сторонами BC=a
, AC=b
, AB=c
.
Первый способ. Пусть AA_{1}
— медиана треугольника ABC
. Тогда
AA_{1}^{2}=\frac{1}{4}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})
(см. задачу 4014). Из прямоугольного треугольника OA_{1}B
находим, что
OA_{1}^{2}=OB^{2}-BA_{1}^{2}=R^{2}-\frac{a^{2}}{4}.
Применив к треугольнику AOA_{1}
и отрезку OM
теорему Стюарта (см. задачу 2663) и учитывая, что AM=\frac{2}{3}AA_{1}
и MA_{1}=\frac{1}{3}AA_{1}
, получим
OA^{2}\cdot MA_{1}+OA_{1}^{2}\cdot AM-OM^{2}\cdot AA_{1}=AM\cdot MA_{1}\cdot AA_{1},
откуда
OM^{2}=\frac{OA^{2}\cdot MA_{1}}{AA_{1}}+\frac{OA_{1}^{2}\cdot AM}{AA_{1}}-AM\cdot MA_{1}=\frac{1}{3}OA^{2}+\frac{2}{3}OA_{1}^{2}-\frac{2}{9}AA_{1}^{2}=
=\frac{1}{3}R^{2}+\frac{2}{3}\left(R^{2}-\frac{a^{2}}{4}\right)-\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{4}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})=R^{2}-\frac{1}{9}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Из равенств
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA},~\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA},~\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}
следует, что
c^{2}=AB^{2}=\overrightarrow{AB}^{2}=\overrightarrow{OB}^{2}+\overrightarrow{OA}^{2}-2\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA}=2R^{2}-2\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA},
b^{2}=AC^{2}=\overrightarrow{AC}^{2}=\overrightarrow{OC}^{2}+\overrightarrow{OA}^{2}-2\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA}=2R^{2}-2\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA},
a^{2}=BC^{2}=\overrightarrow{BC}^{2}=\overrightarrow{OC}^{2}+\overrightarrow{OB}^{2}-2\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB}=2R^{2}-2\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB}.
Значит,
2\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA}=2R^{2}-c^{2},~2\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA}=2R^{2}-b^{2},~2\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB}=2R^{2}-a^{2}.
Из этих равенств и равенства
\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})
(см. задачу 4505) следует, что
OM^{2}=\overrightarrow{OM}^{2}=\frac{1}{9}(\overrightarrow{OA}^{2}+\overrightarrow{OB}^{2}+\overrightarrow{OC}^{2}+2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC})=
=\frac{1}{9}(3R^{2}+2R^{2}-c^{2}+2R^{2}-b^{2}+2R^{2}-a^{2})=
=\frac{1}{9}(9R^{2}-a^{2}-b^{2}-c^{2})=R^{2}-\frac{1}{9}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).
Что и требовалось доказать.
Примечание. Это равенство есть следствие из формулы Лейбница (см. задачу 7259).
Источник: Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. — М.: Учпедгиз, 1962. — с. 64
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 474(a), с. 74
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 490(б), с. 59
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 4.14, с. 42