7259. Формула Лейбница. Пусть M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, O
— произвольная точка пространства. Докажите, что
OM^{2}=\frac{1}{3}(OA^{2}+OB^{2}+OC^{2})-\frac{1}{9}(AB^{2}+BC^{2}+AC^{2}).
Указание. Пусть M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Тогда
\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})
(см. задачу 4505).
Решение. Если M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, то
\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})
(см. задачу 4505) поэтому
\overrightarrow{OM}^{2}=\frac{1}{9}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})^{2}=
=\frac{1}{9}(OA^{2}+OB^{2}+OC^{2}+2\cdot\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+2\cdot\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}+2\cdot\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}).
Из равенства \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}
следует, что
AB^{2}=OB^{2}-2\cdot\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+OA^{2},
откуда находим, что
2\cdot\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=OB^{2}+OA^{2}-AB^{2}.
Аналогично,
\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB},~BC^{2}=OC^{2}-2\cdot\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}+OB^{2},
\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC},~AC^{2}=OA^{2}-2\cdot\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}+OC^{2},
откуда
2\cdot\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=OC^{2}+OB^{2}-BC^{2},~2\cdot\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=OA^{2}+OC^{2}-AC^{2}.
Следовательно,
\overrightarrow{OM}^{2}=\frac{1}{9}(OA^{2}+OB^{2}+OC^{2}+2\cdot\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+2\cdot\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}+2\cdot\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC})=
=\frac{1}{9}(OA^{2}+OB^{2}+OC^{2}+OB^{2}+OA^{2}-AB^{2}+OC^{2}+OB^{2}-BC^{2}+OA^{2}+OC^{2}-AC^{2})=
=\frac{1}{9}(3OA^{2}+3OB^{2}+3OC^{2}-AB^{2}-BC^{2}-AC^{2})=
=\frac{1}{3}(OA^{2}+OB^{2}+OC^{2})-\frac{1}{9}(AB^{2}+BC^{2}+AC^{2}).