4505. Пусть
M
— точка пересечения медиан треугольника
ABC
,
O
— произвольная точка. Докажите, что
\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})
.
Указание. Пусть
AA_{1}
,
BB_{1}
и
CC_{1}
— медианы треугольника
ABC
. Тогда
\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}}=\overrightarrow{0}.

Решение. Пусть
A_{1}
,
B_{1}
,
C_{1}
— середины сторон
BC
,
AC
,
AB
треугольника
ABC
. Сложив почленно равенства
\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM},~\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BM},~\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CM},

получим, что
3\overrightarrow{OM}=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})+(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM})=

=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}})=

=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\frac{2}{3}\cdot\overrightarrow{0}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}

(см. задачу 4501). Следовательно,
\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}).

Примечание. Верно и обратное утверждение: если для произвольной точки
O
верно равенство
\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})
, то
G
— точка пересечения медиан треугольника
ABC
.
Действительно, пусть
M
— точка пересечения медиан треугольника
ABC
,
O
— произвольная точка, а точка
G
такова, что
\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})
. Тогда
\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})-\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=\overrightarrow{0}.

Следовательно, точка
G
совпадает с
M
.
Таким образом, точка
M
является точкой пересечения медиан (центроидом) треугольника
ABC
тогда и только тогда, когда
\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})
, где
O
— произвольная точка плоскости.
Это утверждение верно и в случае, когда
O
— произвольная точка пространства.
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 386, с. 59