12868. Радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника с углами \alpha
, \beta
и \gamma
равны r
и R
соответственно. Докажите, что
\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma\geqslant\frac{3r}{R}.
Решение. Поскольку
\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=\frac{R+r}{R}
(см. задачу 3238), то осталось доказать, что \frac{R+r}{R}\geqslant\frac{3r}{R}
. А это следует из неравенства R\geqslant2r
(см. задачу 3587), так как
\frac{R+r}{R}\geqslant\frac{3r}{R}~\Leftrightarrow~R+r\geqslant3R~\Leftrightarrow~R\geqslant2r.