3238. Пусть \alpha
, \beta
и \gamma
— углы треугольника, R
— радиус описанной окружности, r
— радиус вписанной окружности. Докажите, что
\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=\frac{R+r}{R}.
Указание. 1. Примените формулы тригонометрии и равенство \sin\frac{\gamma}{2}\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}=\frac{r}{4R}
(см. задачу 3225).
2. Примените формулы S=\frac{1}{2}R(a\cos\alpha+b\cos\beta+c\cos\gamma)
, (см. задачу 3966), S=pr
(см. задачу 452), где S
— площадь треугольника, и a=b\cos\gamma+c\cos\beta
(см. задачу 3965).
Решение. Первый способ. Применяя известные формулы тригонометрии, получим, что
\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},
\cos\gamma=\cos(180^{\circ}-\alpha-\beta)=-\cos(\alpha+\beta)=1-2\cos^{2}\frac{\alpha+\beta}{2}.
Значит,
\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}+1-2\cos^{2}\frac{\alpha+\beta}{2}=
=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\left(\cos\frac{\alpha-\beta}{2}-\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\right)+1=
=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}+1=4\sin\frac{\gamma}{2}\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}+1,
а так как \sin\frac{\gamma}{2}\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}=\frac{r}{4R}
(см. задачу 3225), то
\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=4\sin\frac{\gamma}{2}\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}+1=4\cdot\frac{r}{4R}+1=\frac{R+r}{R}.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть S
— площадь треугольника, p
— полупериметр. Тогда
S=\frac{1}{2}R(a\cos\alpha+b\cos\beta+c\cos\gamma),~S=pr
(см. задачи 3966 и 452). Поэтому
a\cos\alpha+b\cos\beta+c\cos\gamma=\frac{2S}{R}=\frac{2pr}{R}.
Кроме того
a=b\cos\gamma+c\cos\beta,~b=a\cos\gamma+c\cos\alpha,~c=a\cos\beta+b\cos\alpha
(см. задачу 3965), поэтому
2p=a+b+c=b\cos\gamma+c\cos\beta+a\cos\gamma+c\cos\alpha+a\cos\beta+b\cos\alpha=
=(b+c)\cos\alpha+(a+c)\cos\beta+(a+b)\cos\gamma=
=(2p-a)\cos\alpha+(2p-b)\cos\beta+(2p-c)\cos\gamma=
=2p(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)-(a\cos\alpha+b\cos\beta+c\cos\gamma)=
=2p(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)-\frac{2pr}{R}.
Из равенства
2p=2p(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)-\frac{2pr}{R}
следует, что
\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=\frac{R+r}{R}.
Что и требовалось доказать.