12869. Пусть R
и r
— радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника, площадь которого равна S
. Докажите, что: а) R\geqslant\sqrt{S}
; б) R+r\geqslant\sqrt{2S}
.
Решение. а) Пусть один из острых углов треугольника равен \alpha
, а гипотенуза равна c
. Тогда катеты треугольника равны c\sin\alpha
и c\cos\alpha
, а так как c=2R
, то
S=\frac{1}{2}c\sin\alpha\cdot c\cos\alpha=\frac{1}{2}\cdot2R\sin\alpha\cdot2R\cos\alpha=R^{2}\sin2\alpha\leqslant R^{2}.
Следовательно, R\geqslant\sqrt{S}
.
б) Катеты треугольника равны a
и b
. Тогда r=\frac{a+b-c}{2}
(см. задачу 217) и S=\frac{ab}{2}
. Значит,
R+r\geqslant\sqrt{2S}~\Leftrightarrow~\frac{c}{2}+\frac{a+b-c}{2}\geqslant\sqrt{ab}\Leftrightarrow~\frac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}.
Отсюда следует нужное неравенство.